In het archief van Johan de Witt bevindt zich in een map met aantekeningen bij de vergaderingen van de Staten van Holland een opvallende reeks getalclusters:
De reden dat De Witt aan het rekenen sloeg, lag hoogstwaarschijnlijk aan achterstallen in de afdracht van de opbrengst van de 200e penning van 1623. Het ging hier om een vermogensbelasting — een half procent van de waarde van de bezittingen van de inwoners — die de steden van het Zuiderkwartier van Holland[1] moesten heffen en vervolgens afdragen aan de Staten. Het totaalbedrag moest uitkomen op 1.371.905 gulden, en de verdeelsleutel tussen de steden werd ontleend aan de heffing van de 200e penning van het jaar 1644. Op de bovenstaande afbeelding zien we De Witt het aandeel per stad uitrekenen, door eerst het bedrag van 1644 te vermenigvuldigen met de totale som van 1623, en de uitkomst vervolgens te delen door de totale som van 1644.
Op het eerste gezicht lijkt het erop dat De Witt dit saaie rekenwerk voor zichzelf wat interessanter heeft proberen te maken door de berekeningen een wat esthetischer aanzicht te geven. Bij nadere beschouwing blijkt het hier echter te gaan om een destijds gebruikelijke methode om delingen uit te voeren. De bekende Amsterdamse schoolmeester Willem Bartjens (1559-1638)[2] legt deze methode uit in zijn beroemde rekenboek De cijfferinghe uit 1604.[3] ‘Volgens Bartjens’ dus:
Waar wij in de cijferwolk misschien de vorm van een kerstbal herkennen, althans in de decembermaand, zo zagen De Witts tijdgenoten er een schip in. Om die reden staat deze methode ook bekend als de ‘galei’-methode.
De Perzische wetenschapper Mohammad ibn Moesa al-Chwarizmi, in welingelichte kringen bekend als ‘de grootvader van de informatica’—hij introduceerde onder andere het gebruik van Arabische cijfers in de wiskunde—gebruikte de galeimethode al in 825. Toch lijkt deze manier van delen nog ouder: hij zou al zijn ontstaan in het China van de eerste eeuw na Christus.[4] Hoewel er al verschillende methoden bekend waren om delingen uit te voeren, was de galeimethode het populairst. Dit kwam vermoedelijk doordat de methode compacter was dan andere methoden, zoals bijvoorbeeld de bekende staartdeling. Zo werd kostbaar papier gespaard.[5]
Wilt u het eens zelf proberen? Op dit filmpje vond ik de beste uitleg. Misschien iets om de kerstvakantie mee door te komen. Veel plezier!
Ronald Sluijter, 6 december 2021
Nog een vraagstuk opgelost
Helemaal duidelijk was De Witts werkwijze na het schrijven van het blog nog niet. Op Twitter vroegen we: “Als iemand kan helpen met de betekenis van de kleine berekeningen houden we ons aanbevolen!” Daarop werd snel gereageerd door Jeanine Daems, lerarenopleider wiskunde aan de Hogeschool Utrecht en docent aan de Universiteit Utrecht in geschiedenis van de wiskunde. Haar beredenering volgt hieronder:
Dat het hier om de negenproef gaat kunnen we beter zien bij de vermenigvuldiging rechtsboven op de linker pagina:
We kijken naar de 8, 1, 1 en 8. De som van de cijfers van 1371905 is 26 en som van 2 en 6 is 8, dat is de bovenste 8. De cijfersom van 283697 is 35, en 3+5 = 8, de andere 8.
Er wordt een vermenigvuldiging uitgevoerd in de eigenlijke som, dus doet men ook 8×8=64 en de cijfersom is 10 en dat wordt 1+0=1, dat is de ene 1.
Dan wordt van het eindantwoord ook de cijfersom bepaald, als het goed is is die ook 1. Dit is een check op de berekening, als het niet klopt is die zeker fout (als het wel klopt niet helemaal zeker goed).
Dus de bovenste 8 is de cijfersom van 1371905, de onderste 8 is de cijfersom van 283697, de ene 1 is de cijfersom van 8×8=64 en de andere 1 is de cijfersom van dat lange getal dat de uitkomst is.
Een rekenfoutje ligt op de loer in zo’n berekening, tenslotte, en dit is een snelle manier om een deel van de mogelijke rekenfouten te ontdekken.
De negenproef werkt om vermenigvuldigingen, optellingen en aftrekkingen te controleren. Het bewijs dat dat werkt komt neer op het volgende: de cijfersom van een getal komt overeen met de rest die je krijgt als je dat getal door 9 deelt. Als je twee getallen optelt, dan moet de rest van het totaal gelijk zijn aan de som van de resten van die twee getallen. Datzelfde principe geldt bij vermenigvuldigen en aftrekken.
Dus eigenlijk kijk je met de negenproef of de uitkomst de juiste rest heeft bij deling door 9. (Merk op dat 9 en 0 dan eigenlijk dezelfde rest zijn.) Dat betekent dus inderdaad dat als de negenproef niet goed uitkomt de uitkomst zeker fout is. Als de negenproef wel goed uitkomt weet je dus dat het antwoord óf goed is, óf een veelvoud van 9 met het juiste antwoord scheelt. De kans dat er een fout gemaakt is maar de negenproef toevallig toch klopt is aanwezig, maar veel rekenfouten zul je op deze manier wel ontdekken.
Bij deling werkt dit principe niet rechtstreeks, maar omdat delen het omgekeerde is van vermenigvuldigen kan dit idee toch gebruikt worden en dat lijkt hier te gebeuren.
Laten we kijken naar de onderste deling, met in het kruis de 7, twee keer 0, de 4 en een streep met de 5.
Bij delen kun je je antwoord altijd controleren door de uitkomst te vermenigvuldigen met het getal waardoor je gedeeld hebt, en dan te kijken of je het getal waar je mee begonnen was terugkrijgt. Dat is ook wat hier gebeurt, ik redeneer even terug vanuit de berekening.
Wat hier wordt uitgerekend is dit: 68390836155 gedeeld door 872294, en de uitkomst is dan:
Dat betekent dat als we die uitkomst met 872294 vermenigvuldigen, we weer 68390836155 moeten krijgen, als de berekening klopt. Met andere woorden:
moet weer 68390836155 opleveren.
Anders geschreven: 872294 x 78403 + 369673 moet gelijk zijn aan 68390836155 als de berekening klopt.
En of dat zo is wordt gecontroleerd met de negenproef:
de deler 872294 heeft cijfersom 32 en dat heeft cijfersom 5, dat is de 5 onder de streep.
78403 heeft cijfersom 22, dat wordt de 4.
369673 heeft cijfersom 34, dat wordt de 7.
Van de berekening 872294 x 78403 + 369673 wordt de corresponderende berekening in de negenproef 5 x 4 + 7 = 27 met cijfersom 9 en dat wordt 0.
Dat moeten we dan vergelijken met het begingetal: 68390836155. Dat heeft als cijfersom 54, en dat wordt ook 9 dus ook 0.
De berekening die wordt uitgevoerd in het kruis is dus 5 x 4 + 7 en die wordt vergeleken met de cijfersom van 68390836155.
Nog even een check met een ander voorbeeld, de deling in het midden van de linker pagina:
De deling erboven zou dan moeten geven: 5 x 1 + 6 en dat wordt 11 en dus 2, en het begingetal 39113011550 heeft cijfersom 29 dus 11 dus ook 2.
44839 wordt 28 dus 10 dus dat is inderdaad die 1
220884 wordt 24 dus inderdaad die 6
en die 5 is weer hetzelfde, die komt van de 872294
Dus ook hier lijkt diezelfde controle op te treden.
Jeanine Daems, 6 december 2021 (veel dank Jeanine!)
[1] Dordrecht, Haarlem, Delft, Leiden, Amsterdam, Gouda, Rotterdam, Gorinchem, Schiedam, Schoonhoven en Den Briel.
[2] https://nl.wikipedia.org/wiki/Willem_Bartjens
[3] https://www.dbnl.org/tekst/bart001cijf02_01/bart001cijf02_01_0018.php
[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Galley_division
[5] D.E. Smith, History of Mathematics Vol. 2 (New York 1958) 139-140. Beschikbaar via Google Books.